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2011
03.20

Varennes Vauzelles – « 1° édition du Bike&Run »

Catégorie : Duathlon/Bike&Run / Tag : / Commentaires fermés

Organisé par l’ASAV Triathlon, cette épreuve ludique se pratique par équipe de 2, l’équipe n’ayant à sa disposition qu’un seul VTT. Les deux équipiers effectuent le même parcours en organisant, selon leurs souhaits, des relais.

J’ai choisi avec un collègue de bureau de m’inscrire sur le circuit Open Nature de 14km (4 boucles de 3.5km). Le parcours tracé près du C.R.A.P.A. dans la forêt des Bertranges ne présente pas de grosse difficulté mais est très plaisant. En plus le beau temps semble être de la partie.

Après un premier tour assez lent du fait de relais trop long, et ce malgré le très bon départ de mon coéquipier, nous avons pu très bien gérer la fin du parcours que nous bouclons finalement en 1h00min28sec. Ceci nous place à la 9° position sur 24équipes ce qui n’est pas trop mal vu les conditions de l’exercice (pas d’entraînement et surtout une grosse chtouille la veille).

2011
03.11

MeDiaN@Sports – « Puissance et Energie à vélo »

Catégorie : .MeDiaN@Sports / Tag : / Commentaires fermés

Présentation générale

Dans ce précédent article, nous avons vu que l’équation gérant le mouvement d’un cycliste peut s’écrire sous la forme suivante. Cette équation traduit en fait le couple que le cycliste doit exercer sur le pédalier pour contrer les efforts résistants et se déplacer à une vitesse donnée.

$C_{m} = 1,03.(K.\ddot{\theta_{p}} + (M_{tot}) .g.a.t.sin(\alpha) + k_{corr}.C_{aero_{p}} + C_{r_{p}})$

Avec $K=a^{2}.t^{2} \left ( M+2. \left (M_{1}+M_{2} \right) + m_{P} + 2. m_{p}+M_{Cycliste} \right)+0,13^{2} \left (m_{P} + 2. m_{p} \right)$
$M_{tot} = \left (M+M_{1}+M_{2}+m_{P}+2m_{p}+M_{Cycliste} \right )$

$\alpha = Arctan (\frac{Denivele}{100})$ ou $sin(\alpha) = \frac{Denivele_{tot}}{Distance_{tot}}$
$t=\frac{Ndents_{plateau} }{Ndents_{pignon}}$ et $a=Rayon_{Roues}$

$k_{corr} = 1-\frac{t_{abrite}}{100}*0.3$
$C_{aero_{p}}=t.C_{aero_{roues}}=a.t.R_{aero}$
$R_{aero}=R_{C_{x}}+R_{friction_{air}}=(\frac{1}{2}\rho.S.C_{x}+C_{f}).(V_{Vent}.cos(i)+a.t.\dot{\theta_{p}})^{2}$

$C_{r_{p}}=t.C_{r_{roues}}=a.t.R_{r}$
$R_{r}=Crr.M_{tot}.g.cos(\alpha)$ Avec $Crr = Coeff_{route}*Coef_{pneu}*p^{-0.426}$
avec $cos(\alpha)^{2}+sin(\alpha)^{2}=1$ d’où $cos(\alpha)=\sqrt{1-sin(\alpha)^{2}}$

Puissance instantanée

La puissance mécanique met en relation la quantité d’énergie (travail) fournie par le cycliste en une unité de temps. Cette puissance exprimée en Watt correspond à la quantité de Joule produits en 1 seconde.

L’équation de mouvement ayant été construite pour donner le couple au niveau du pédalier, la puissance fournie par le cycliste sera déterminée en faisant le produit de ce couple [en N.m] par la vitesse de rotation du pédalier [en rad/sec]. Cette vitesse de rotation est donnée par la formule :

$\dot{\theta_{p}} = \frac{\Pi. N}{30}$ où N est la cadence de pédalage en tr/min.

En théorie, la puissance instantanée fournie par le cycliste peut donc être approximée grâce à la relation suivante :

$P(t) = C_{m}(t).\dot{\theta_{p}}(t)$
$P(t) = 1,03.(K.\ddot{\theta_{p}} + M_{tot}.g.a.t.sin(\alpha) + k_{corr}.C_{aero_{p}} + C_{r_{p}}).\frac{\Pi. N}{30}$

La connaissance de plusieurs facteurs intervenant dans la formule (accélération, pente, braquet, cadence…) n’étant pas possible en temps réel, l’exploitation de la puissance instantanée nécessitera l’acquisition d’un système de mesure de puissance dédié : LOOK Kéo Power, SRM, Powertap sont autant de solutions possibles. Ces systèmes restent toutefois coûteux et les informations fournies difficiles à exploiter pleinement pour l’amateur.

Énergie instantanée

Il serait faux de chercher à déterminer l’énergie instantanée puisque celle-ci est par définition la quantité d’énergie [J] consommée par un système pendant un temps donné :

$E(t) = \int_{t_{init}}^{t_{fin}} P(t)dt$

Nous pourrions toutefois être tenté de déterminer l’énergie fournie dans un laps de temps limité ( $t_{fin}-t_{init} faible$ ), pour évaluer par exemple la qualité d’une séance de fractionné. La mesure de cette énergie ne faite sur un temps limité mais ne sera pas instantanée.

La notion d’énergie reste malgré tout intéressante puisqu’elle fait apparaître la « durée de l’effort ».

Puissance moyenne

La puissance moyenne est la valeur moyenne de la puissance que le cycliste aura du développer pour parcourir X kilomètres et Y mètres de dénivelé en un temps T donné. Cette puissance est la moyenne de l’ensemble des puissances fournies à chaque seconde du parcours par le cycliste.

Mais l’intérêt principal de cette puissance est de pouvoir être déterminée en moyennant chaque paramètre entre le point de départ et le point d’arrivée. Les données d’entrées et hypothèses permettant de déterminer cette puissance sont les suivantes :
– $Duree_{tot} = Duree_{sortie}$ (info compteur) ;
– $Distance_{tot} = Distance_{totale parcourue}$ (info compteur) ;
– $Denivele_{tot} = Somme(D+)$ (info compteur ou openrunner) ;
– $t_{abrite}$ en % (estimation du temps passé dans les roues).
– $N = Cadence_{moyenne}$ (info compteur ou cyclotouriste(70) / cyclosportif(90)) ;
– $\dot{\xi} = Vitesse_{constante}$ : $\ddot{\theta_{p}}=0$ d’où $K.\ddot{\theta_{p}}=0$ (hypothèse);

La puissance moyenne sera donc le résultat de la formule ci-dessous :

$P_{m} = 1,03.(M_{tot}.g.a.t.sin(\alpha) + k_{corr}.C_{aero_{p}} + C_{r_{p}}).\frac{\Pi. N}{30}$

Avec $sin(\alpha) = \frac{Denivele_{tot}}{Distance_{tot}}$ et $t = \frac{Ndents_{plateau}}{Ndents_{pignon}} = Braquet_{moy}$ pedalier 39×53 (hypothèse)

$\dot{\xi} = a.t.\dot{\theta_{p}} = \frac{Distance_{tot}}{Duree_{tot}}$
$t = \frac{Distance_{tot}}{Duree_{tot}}.\frac{30}{a.\Pi.N}$

39 x $Ndents_{pignon} = \frac{39}{t}$ si $Ndents_{pignon}> 11$
53 x $Ndents_{pignon} = \frac{53}{t}$ Sinon

Le vent sera lui considéré faible (2.5m/sec = 9km/h) mais de face (hypothèse) ce qui se traduit mathématiquement par un angle d’incidence de i=0° : $cos(i)=1$ d’où $V_{Vent}.cos(i)=V_{vent}$

La valeur des autres termes ont été énoncé précédemment.

modelisation_Pmoy

Énergie mécanique fournie en Joules

Nous arrivons ici à l’énergie fournie qui est le critère le plus intéressant pour caractériser une sortie puisque celle-ci fait apparaître à la fois:
– La notion de distance parcourue ;
– La notion de topographie du parcours ;
– La notion de vitesse et les perte aérodynamiques associées ;
– Les propriétés intrinsèques du système Cycliste/Vélo : Frottements d’une part, masses et donc inertie d’autre part ;
– Les propriétés extrinsèque au système Cycliste/Vélo : Résistance au roulement.
– La durée de l’effort.

L’énergie fournie, exprimée en Joules, est donc la quantité d’énergie que doit fournir le cycliste pour effectuer la distance et le dénivelé séparant le point A du point B en un temps donné. Cette énergie correspond au produit de la puissance moyenne développée pendant le trajet (voir § précédent) et la durée de ce trajet.

$E_{m_{fournie}} = P_{m}.Duree_{tot}$

Bien qu’approximative, cette méthode n’en reste pas moins comparative et permet de classer différente sortie de manière beaucoup plus précise qu’un classement selon les seuls critères de distance, dénivelé, vitesse ou durée du parcours.

Exemple :
– Une sortie courte (durée faible) à puissance élevée pourra ainsi donner une énergie fournie plus important qu’une sortie longue (durée importante) à faible puissance.
– Une sortie présentant un dénivelé important mais effectuée à vitesse faible pourra donner une énergie fournie plus grande qu’une sortie en plaine réalisée à vitesse élevée.
– Une même sortie conduira à une énergie fournie d’autant plus faible que la masse du couple Cycliste/Vélo sera limitée.

Énergie biomécanique consommée en kCal

L’énergie calculée ci-dessus est donc intéressante pour classer différentes sorties puisqu’elle quantifie l’énergie devant entrer dans le vélo pour réaliser un parcours donné.

Le corps humain étant un système (bio)mécanique comme un autre, son rendement est limité. Une part importante de l’énergie totale produite par le coureur est perdue (pertes énergétiques, biomécanique,…), ou utilisé à d’autres fins que la propulsion pure du vélo.

On estime généralement ce rendement énergétique entre 21 et 24% (conditions laboratoire) mais Polar l’estime par exemple entre 17 et 22%. (donnée issues du site endurance-sport-performance).

L’énergie consommée par le cycliste pour fournir l’énergie nécessaire au parcours est donc lié par ce rendement, qui sera arbitrairement estimé à 20% (hypothèse). L’énergie consommée est donc égale à :

$E_{m_{consomme}} = \frac{E_{m_{fournie}}}{0.2} = \frac{P_{m}.Duree_{tot}}{0.2}$ [Joules]

L’unité de cette énergie, exprimée en Joules, n’est cependant pas très adapté puisque c’est la calorie, ou plutôt la kCal, qui est traditionnellement utilisée pour quantifier l’énergie consommée par un organisme vivant. Comme une kCal équivaut à 4184J, l’énergie consommée est donnée par:

$E_{m_{consomme}} = \frac{1}{4184}.\frac{P_{m}.Duree_{tot}}{0.2}$ [kCal]

Il est intéressant de noter que le rendement énergétique du cycliste peut être amélioré grâce à l’entraînement qui permet d’améliorer dans une certaine mesure la technique de pédalage et le fonctionnement bio-énergétique du corps (adaptation des muscles,…).

2011
02.27

St Martin sur Nohain – « 6e édition de la Décrasseuse »

Catégorie : Randonnée / Tag : / Commentaires fermés

Le terrain très gras, le froid et le vent n’auront finalement pas eu raison de la volonté des 81 vététistes inscrits pour la 6° édition de la décrasseuse organisé par l’ucs-cosnesurloire. Regardé la taille des roues!!!

Mais il faut dire que cette région vinicole ne manque pas d’atouts, autant de par ces paysages ….

…. que par la dégustation de ses vins « pouilly-fumé », ou « blanc-fumé de Pouilly » (produit à Pouilly-sur-Loire), généreusement offerte sur les ravitos.

2011
02.13

Fourchambault – « 14° Rando des bords de Loire »

Catégorie : Randonnée / Tag : / Commentaires fermés

1° licence FFCT chez LOOK Cyclosport (et oui, l’objectif est seulement de s’amuser et de profiter un max des sorties organisées) et 1° rando VTT ce dimanche 13 février 2011 à Fourchambault.

Le parcours de 35km s’annonce sans difficulté majeure et c’est très bien vu ma faible pratique en VTT. Heureusement la modification que j’ai apporté à mes crampons me permets de partir cette fois serein puisque je peux maintenant déchausser sans blocage. La solution était pourtant toute simple. Un petit coup de lime sur les flancs internes des crampons, juste un peu derrière la cale, et adieu les chutes.

Le départ sera donné de la salle Marcel Paul à 8h30. Petite photos souvenir avec les membres du club. Même si nous sommes 15 sur la photos, 20 personnes du club ont participé (la majorité sur le 35 km) ce qui fait de LOOK Cyclosport le club le plus représenté sur cette cyclo. C’est encourageant pour les sorties à venir. L’ambiance est à première vue très bonne, avec des gens de tous age et de tous niveau. Un tandem est même de la fête.

Le départ donné, nous empruntons d’abord les bords de Loire pour une rapide mise en jambe. Il s’avère déjà que la boue sera de la partie. Tant mieux, cela rajoutera un peu de difficultés! Première grosse bosse et première désillusion : ça ne passe pas, mais ce n’est rien puisque le président, lui, casse sa chaîne. Le malheur des uns fait heureusement le bonheur des autres pour qui la pause est l’occasion de récupérer…et accessoirement de reprendre un peu d’antigel!

La suite du tracé traverse les chemins forestier avec un parcours légèrement vallonné qui malgré quelques problèmes de fléchage est très agréable. Après quelques poussée d’adrénaline et quelques passage douloureux (la cote du blanc et ses 14% et ce sans mauvais jeu de mots) nous nous sommes retrouvés au complet à l’arrivée où nous attendais une petite collation.

Vivement la prochaine sortie, et un grand merci aux organisateurs et à tous les membres du club.

2011
02.09

MeDiaN@Sports – « Les Frottements à vélo »

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Présentation générale

Dans ce précédent article, nous avons vu que l’équation gérant le mouvement d’un cycliste peut s’écrire sous la forme suivante :

$C_{m} = K\ddot{\theta_{p} } + \left ( \lambda_{1}+2. \lambda_{2}t \right ) \dot{\theta_{p}} + \left (M_{tot} \right ) .g.a.t.sin(\alpha) + k_{corr}.C_{aero_{p}} + C_{r_{p}}$

$\alpha = Arctan (\frac{Denivele}{100})$ ou $sin(\alpha) = \frac{Denivele_{tot}}{Distance_{tot}}$
$t=\frac{Ndents_{plateau} }{Ndents_{pignon}}$

Cette équation nous donne la valeur du couple que le cycliste doit fournir pour rouler à une vitesse donné, et ce en prenant en compte les différentes masses en mouvement, les pertes dans les liaisons, le profil de la route, l’aérodynamisme globale du système et la résistance au roulement créée par les pneus. Un vélo n’étant pas un système mécanique parfait, les liaisons entre pièces en mouvement sont le siège de frottements qui conduisent à une perte d’énergie sous la forme de chaleur.

Le siège des frottements

Dans l’équation ci-dessus, les pertes au niveau du boîtier de pédalier ( $\lambda_{1}$ ) et les roulements de roues ( $\lambda_{2}$ ) apparaissait dans le terme $\left ( \lambda_{1}+2. \lambda_{2}t \right ) \dot{\theta_{p}}$ qui suppose des pertes proportionnelles à la vitesse du cycliste (hypothèse de départ).

Ce calcul n’est cependant pas représentatif de la réalité, puisque pour tout vélo en bon état, les pertes dans les roulements sont négligeables devant celles générées par la transmission. De plus, la détermination des coeff $\lambda_{1}$ et $\lambda_{2}$ est compliquée (pas de données constructeur, caractéristiques évoluant dans le temps,…).

Ci-dessous une petite listes des endroits susceptible de dissiper de l’énergie par frottement :

La source principale des frottements

– Frottements de la chaîne sur le plateau;
– Frottements de la chaîne sur les pignons;
– Frottement de la chaîne sur les 2 galets du dérailleur;
– Frottement de la chaîne contre la fourchette du dérailleur;
– Frottements internes à la chaîne : entre maillons…;
– Les roulements de roues et de pédalier mais aussi ceux des pédales;
– Des freins mal centrés amené à frotter la roue, voire une roue voilée;
– La roue libre de la cassette en descente par exemple.
– La déformation des pièces qui génère des frottements internes à la matières….

Estimation de ces pertes

Comme on le constate ci-dessus, de nombreuses sources de frottements existent sur un vélo et peuvent conduire à la diminution du rendement globale de la machine. Bien que ces pertes soient fortement variables (qui n’a pas déjà maudit un vélo à la transmission rouillée?), nous pouvons améliorer la précision de l’équation en intégrant un facteur supplémentaire représentant ce rendement globale.

L’estimation de ce facteur a été réalisé d’après de nombreux site ou livre qui font état un rendement de 97% pour une transmission par chaîne. Ceci signifie que le couple exercé par le cycliste pour rouler à vitesse constante sur une portion de route à dénivelé constant devra être dans le meilleur des cas 1,03 fois plus important que si celui-ci disposait d’un vélo parfait (rendement de 100%, rigidité infinie….)

Conclusion

La prise en compte des frottements nous permet d’accroître encore la précision de l’équation du mouvement établie précédemment. L’ajout d’un facteur de rendement nous donne l’expression suivante :

$C_{m} = 1,03.(K.\ddot{\theta_{p}} + (M_{tot}) .g.a.t.sin(\alpha) + k_{corr}.C_{aero_{p}} + C_{r_{p}})$

Le terme $\left ( \lambda_{1}+2. \lambda_{2}t \right ) \dot{\theta_{p}}$ a bien sûr été supprimé puisqu’il est désormais intégré au facteur 1,03.

Cette équation nous permet d’écrire quelques remarques intéressantes :

L’entretien régulier d’un vélo est primordial pour conserver un niveau élevé de performances. Ceci passe par une bonne lubrification de la transmission et des roulements, mais aussi par un parfait réglage des dérailleurs afin d’éviter les frottements dans ces derniers.

Le rendement de 97% (97.5% pris un vélo de pro régler au petit oignon) prit comme hypothèse correspond à un vélo parfaitement entretenu et avec des composants proches du neuf (hypothèse optimiste). Il pourra être beaucoup plus faible si les pièces sont usées ou corrodées par exemple.

Le choix des braquets est également important et il faudra veiller à limiter le plus possible les croisements de chaînes qui, outre une projection géométrique défavorable des efforts, entraînent une augmentation des frottements.

2011
01.17

Bilan de ma saison cycliste 2010

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Statistiques

Cyclo

La LOOK le 30 mai 2010

25° Duathlon populaire de la Nièvre le 02 octobre 2010

2011
01.09

MeDiaN@Sports – « La Résistance au Roulement à vélo »

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Présentation générale

Dans ce précédent article, nous avons vu que l’équation gérant le mouvement d’un cycliste peut s’écrire sous la forme suivante :

$C_{m} = K\ddot{\theta_{p} } + \left ( \lambda_{1}+2. \lambda_{2}t \right ) \dot{\theta_{p}} + \left (M_{tot} \right ) .g.a.t.sin(\alpha) + k_{corr}.C_{aero_{p}}$
Avec $K=a^{2}.t^{2} \left ( M+2. \left (M_{1}+M_{2} \right) + m_{P} + 2. m_{p}+M_{Cycliste} \right)+0,13^{2} \left (m_{P} + 2. m_{p} \right)$
$M_{tot} = \left (M+M_{1}+M_{2}+m_{P}+2m_{p}+M_{Cycliste} \right )$
$\alpha = Arctan (\frac{Denivele}{100})$ ou $sin(\alpha) = \frac{Denivele_{tot}}{Distance_{tot}}$
$t=\frac{Ndents_{plateau} }{Ndents_{pignon}}$
$k_{corr} = 1-\frac{t_{abrite}}{100}*0.3$
$C_{aero_{p}}=t.C_{aero_{roues}}=a.t.R_{aero}$
$R_{aero}=R_{C_{x}}+R_{friction_{air}}=(\frac{1}{2}\rho.S.C_{x}+C_{f}).(V_{Vent}.cos(i)+a.t.\dot{\theta_{p}})^{2}$

Cette équation nous donne la valeur du couple que le cycliste doit fournir pour rouler à une vitesse donné, et ce en prenant en compte les différentes masses en mouvement, les pertes dans les liaisons, le profil de la route ainsi que l’aérodynamisme globale du système. Pour tous ceux qui ont déjà roulé à vélo, il existe un dernier aspect non moins fondamental à considérer : la résistance au roulement.

Résistance au roulement

De nombreuses relations ont successivement été formulées pour décrire au mieux la résistance au roulement. Bien que les plus complètes fassent intervenir la vitesse dans le calcul, nous nous contenterons dans notre cas de la forme sa plus simple.

L’adhérence nécessaire au roulement d’un pneumatique sur le sol génère une force opposée au mouvement qui est proportionnelle au poids du système (vélo + cycliste) selon un coefficient Crr. Ce coefficient dépend :

Des pneumatiques utilisés

Tous les pneumatiques ne sont pas comparables du point de vue de leur résistance au roulement. Le tableau ci-dessous donne la valeur du Crr à 7bars pour différents modèles de pneus, dont celui des « Michelin Carbon ».

De la pression de gonflage

La résistance au roulement évolue également en fonction de la pression de gonflage. On retrouve souvent cette évolution caractérisée par la fonction suivante : $Crr = Coef_{pneu}*p^{-0.426}$ ou $Coef_{pneu}$ dépend du pneu et p est la pression de gonflage.

Si l’on considère un pneu Michelin Krylion Carbon 700×23 par exemple, on a Crr à 7bars = 0.005. On en déduit que $Coef_{Krylion} = \frac{Crr}{p^{-0.426}}=\frac{0.005}{7^{-0.426}}=0,011454649$

Pour ces pneus, on peut donc donc écrire Crr comme ceci : $Crr_{Krylion} = 0.011454649*p^{-0.426}$

De l’état de la chaussée

L’état de la chaussée joue également un grand rôle sur la mesure du coefficient de roulement. Les valeurs trouvées dans la littérature vont ainsi de 0,004 pour la piste à 0,010 pour une route en asphalte en mauvais état. Pour un route en asphalte très lisse – que l’on peut considérer comme le cas retenu par les fabricants lorsqu’ils nous donnent les caractéristiques de leur pneus – la valeur du Crr est de 0,006.

On peut donc considérer que le Crr varie entre 1*Crr (bonne route) et 1.65*Crr (route dégradée) suivant l’état du revêtement.

$Crr = Coeff_{route}*Coef_{pneu}*p^{-0.426}$ avec $1<Coeff_{route}<1.65$

En considérant que l’on roule les 2/3 du temps sur des routes correctes, la formule retenue pour les Krylion Carbon sera finalement la suivante :

$Crr_{Krylion} = 1.20*0.011454649*p^{-0.426}=0,013745579*p^{-0.426}$

Bilan

La résistance au roulement est finalement donnée par la relation

$Rr=Crr.M_{tot}.g.cos(\alpha)$ avec $\alpha=Arctan(\frac{Denivele}{100})$

Conclusion

L’équation du mouvement qui tient compte de la résistance au roulement est donc :

$C_{m} = K\ddot{\theta_{p} } + \left ( \lambda_{1}+2. \lambda_{2}t \right ) \dot{\theta_{p}} + \left (M_{tot} \right ) .g.a.t.sin(\alpha) + k_{corr}.C_{aero_{p}} + C_{r_{p}}$

$\alpha = Arctan (\frac{Denivele}{100})$ ou $sin(\alpha) = \frac{Denivele_{tot}}{Distance_{tot}}$
$t=\frac{Ndents_{plateau} }{Ndents_{pignon}}$

Ceci nous permet quelques remarques intéressantes:

La résistance au roulement est bien évidemment directement liée à la qualité du pneumatique utilisé et à l’état de la route sur laquelle le cycliste circule.

D’après l’expression du coefficient de résistance au roulement, il est très important de gonflé correctement ses pneus avant chaque sortie. Pour des Krylion Carbon par exemple, le passage de 5 (Crr=0.00692) à 7bars (Crr=0.006) se traduit par une résistance à l’avancement diminuée d’environ 13%.

La surface du pneu en contact avec le sol n’intervient paradoxalement pas dans la relation.

Celle ci dépend en fait de la masse cumulée du cycliste et de son vélo.

2010
11.28

MeDiaN@Sports – « L’Aérodynamisme à vélo »

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Présentation générale

Dans ce précédent article, nous avons vu que l’équation gérant le mouvement d’un cycliste peut s’écrire sous la forme suivante :

$C_{m} = K\ddot{\theta_{p} } + \left ( \lambda_{1}+2. \lambda_{2}t \right ) \dot{\theta_{p}} + \left (M_{tot} \right ) .g.a.t.sin(\alpha)$
Avec $K=a^{2}.t^{2} \left ( M+2. \left (M_{1}+M_{2} \right) + m_{P} + 2. m_{p}+M_{Cycliste} \right)+0,13^{2} \left (m_{P} + 2. m_{p} \right)$
$M_{tot} = \left (M+M_{1}+M_{2}+m_{P}+2m_{p}+M_{Cycliste} \right )$
$\alpha = Arctan (\frac{Denivele}{100})$
$t=\frac{Ndents_{plateau} }{Ndents_{pignon}}$

Cette équation est cependant insuffisante pour représenter la réalité car elle néglige l’ensemble des actions extérieures s’opposant pourtant à l’avancement du cycliste. Pour obtenir une modélisation plus précise, il faudra donc prendre en compte un certain nombre d’actions supplémentaire et en particulier celles dues à l’air.

Résistance aérodynamique

Pénétration dans l’air

Modélisation mathématique

La résistance aérodynamique est l’action exercée par l’air sur le cycliste lorsque celui-avance. Pouvant être favorable ou défavorable, sa valeur est proportionnelle au carré de la vitesse relative du cycliste par rapport au vent.

Bien que la détermination précise des phénomènes aérodynamique soit extrêmement complexe, on peut cependant obtenir une idée de cette résistance grâce à la formule ci-dessous:

$R_{C_{x}}= \frac{1}{2}.\rho .S.C_{x}.V^{2}_{a}= \frac{1}{2}.\rho .S.C_{x}.(V_{vent}+\dot{\xi })^{2}$
avec $\rho$ la masse volumique de l’air;
$S$ la surface frontale du cycliste;
$C_{x}$ le coefficient de pénétration dans l’air du cycliste (environ 0.9);
et $V_{vent}$ vitesse du vent est comptée positivement lorsqu’il est opposé à la vitesse d’avancement

Paramètres influents $R_{C_{x}}$

Les conditions atmosphériques ( $\rho$ )

La masse volumique de l’air dépend de plusieurs facteurs qui sont l’humidité, la température et la pression atmosphérique qui varie avec l’altitude. Dans les conditions normales, on peut approcher la masse volumique de l’air grâce à la formule suivante :

$\rho (H_{g} ,\theta, p )=\frac {1} {287,06 (\theta +273,15)} (p - 230,617.H_{g} . exp(\frac{17.5043.\theta}{241.2+\theta }))$

A 20°C et à pression normale, on considère souvent que $\rho_{20}=1.204kg/m^3$

La taille et la position du cycliste, la géométrie de son matériel ( $S et C_{x}$ )

Le $C_{x}$ est le coefficient de pénétration dans l’air de l’ensemble Cycliste+Vélo. Il diffère suivant la position du cycliste et l’incidence du vent. Cependant, on peut considérer que 0,95 est une bonne approximation de ce coefficient dans la majorité des cas.

S est la surface frontale de l’ensemble cycliste+Vélo. Cette surface peut être déterminée assez facilement en utilisant un appareil photo numérique et le logiciel The Gimp (voir ce tuto). Voici ce que l’on obtient dans mon cas.

On peut aussi noter que les positions en contre la montre et/ou des tri-athlètes permettent d’atteindre des SCx de l’ordre de 0,25.

Du vent apparent

Le vent apparent est la vitesse du vent par rapport au cycliste. Il dépend de la vitesse propre du vent, de son incidence et de la vitesse du cycliste.

Ainsi, $V_{a}^{2}=(V_{vent}. cos(i)+V{Cycliste})^{2}=(V_{vent}.cos(i)+\dot{\xi })^{2}$

Conclusion

La résistance dû à l’air ramenée au pédalier est finalement donnée par la relation :

$R_{C_{x}}= \frac{1}{2}.\rho .S.C_{x}.(V_{vent}.cos(i)+a.t.\dot{\theta_{p}})^{2}$

Friction de l’air

Lorsque qu’un vélo avance, le frottement de l’air sur celui-ci ainsi que les phénomène aérodynamique qu’il génère (traînée, dépression,…) agissent comme un frein à cet l’avancement. L’essentiel de ces pertes sont en réalité générées par la rotation des roues et c’est pourquoi les fabricants proposent de plus en plus des roues dites aérodynamique (jantes hautes, réduction du nombre de rayons, rayons profilés,…).

Ces roues peuvent alors être caractérisées par un coefficient qui définit leur efficacité de friction (Cf=0.0027 pour des roues standards avec des pneus 700x23C).

La résistance due à la friction de l’air peut être approximée grâce à la relation ci-dessous :

$R_{friction_{air}}= C_{f}.(V_{vent}.cos(i)+a.t.\dot{\theta_{p}})^{2}$

Conclusion

La prise en compte de l’aérodynamisme nous permet d’accroître la précision de l’équation du mouvement établie précédemment. Celle ci devient désormais :

$C_{m} = K\ddot{\theta_{p} } + \left ( \lambda_{1}+2. \lambda_{2}t \right ) \dot{\theta_{p}} + \left (M_{tot} \right ) .g.a.t.sin(\alpha) + C_{aero_{p}}$
Avec $K=a^{2}.t^{2} \left ( M+2. \left (M_{1}+M_{2} \right) + m_{P} + 2. m_{p}+M_{Cycliste} \right)+0,13^{2} \left (m_{P} + 2. m_{p} \right)$
$M_{tot} = \left (M+M_{1}+M_{2}+m_{P}+2m_{p}+M_{Cycliste} \right )$
$\alpha = Arctan (\frac{Denivele}{100})$
$t=\frac{Ndents_{plateau} }{Ndents_{pignon}}$
$C_{aero_{p}}=t.C_{aero_{roues}}=a.t.R_{aero}$
$R_{aero}=R_{C_{x}}+R_{friction_{air}}=(\frac{1}{2}\rho.S.C_{x}+C_{f}).(V_{Vent}.cos(i)+a.t.\dot{\theta_{p}})^{2}$

Mais aspirons à aller plus loin…

Tout cycliste ayant déjà rouler en groupe a pu constater l’importance de l’aspiration aérodynamique dans ce sport. Le placement dans un peloton et la capacité du coureur à s’abriter dans les roues permet ainsi une économie énergétique importante non négligeable qui pourra faire la différence en fin de parcours. La littérature fait ainsi souvent état d’un gain possible de 30% en fonction des conditions.

L’objectif de ce paragraphe est de faire apparaître un facteur de correction $k_{corr}$ dans l’équation qui prendra en compte l’aspiration dont pourra profiter le cycliste lors d’une cyclosportive par exemple.

L’idée étant d’affiner le résultat sans dispositif autre que le compteur, la détermination du coefficient correcteur se fera sur la base du raisonnement ci-dessous :
– Le gain maximum attribuer à l’aspiration est d’environ 30%. Nous pouvons donc supposer qu’une sortie en groupe réaliser à 100% dans les roues permet au coureur de réduire de 30% l’énergie dépensée pour vaincre les forces aérodynamiques.
– A l’inverse, un sortie à 2 où les cyclistes prennent les relais à part égale permettra à chacun de s’abriter 50% du temps seulement.

Le facteur correcteur $k_{corr}$ est donc fonction du temps passer à s’abriter par rapport au temps totale de la sortie et pourra s’écrire :

$k_{corr} = 1-\frac{t_{abrite}}{100}*0.3$ où $t_{abrite}$ est le pourcentage de temps passé dans les roues.

Par conséquent, si $t_{abrite} = 100$ %, $k_{corr} = 0.7$
si $t_{abrite} = 0$ %, $k_{corr} = 1$

L’équation tenant compte de l’aspiration est donc :

$C_{m} = K\ddot{\theta_{p} } + \left ( \lambda_{1}+2. \lambda_{2}t \right ) \dot{\theta_{p}} + \left (M_{tot} \right ) .g.a.t.sin(\alpha) + k_{corr}.C_{aero_{p}}$

Cette équation nous permet d’écrire quelques remarques intéressantes :

La résistance aérodynamique varie suivant le carré de la vitesse. Cette résistance augmente par conséquent avec la vitesse de façon exponentielle. L’aspiration pouvant permettre de réduire ces pertes de 30%, il est primordiale de savoir s’abriter correctement lors d’une sortie en groupe pour maximiser ses performances.

Lorsque le vent nous arrive de coté (i=90° ou i=270°), sa participation à la résistance à l’avancement est théoriquement nulle puisque cos(i)=0. Si i est entre 90° et 270°, cos(i)<0 : le vent devient moteur.

La position du cycliste sur son vélo est fondamentale : le fait de passer d’une position bras tendu à une position aéro permet en effet de réduire son SCx de près de 24% ( $\frac{(0.41-0.31)}{0.41}*100$ ) et de réduire d’autant les pertes aéro.

Les conditions climatiques ne sont pas sans incidence sur les pertes aérodynamique.En effet celles-ci sont d’autant plus faibles que la température est élevée, que la pression est faible (altitude) et que le taux d’hygrométrie est grand.

2010
11.10

Mauvaise pioche

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2010
11.06

MeDiaN@Sports – « L’Equation de mouvement à vélo »

Catégorie : .MeDiaN@Sports / Tag : / 1 comment

Présentation générale

Dans cet article précédent, nous avons établis la relation donnant l’énergie cinétique d’un cycliste se déplaçant en ligne droite.

Rappel : $T = \frac{1}{2} . K . \dot{\theta _{p}^{2}}=\frac{1}{2} . K \left (\frac{\pi . N}{30} \right)^{2}$ avec inertie équivalente ramenée au pédalier $K=a^{2}.t^{2} \left ( M+2. \left (M_{1}+M_{2} \right) + m_{P} + 2. m_{p}+M_{Cycliste} \right)+0,13^{2} \left (m_{P} + 2. m_{p} \right)$

En se basant sur le résultat de ce calcul, nous allons maintenant cherché à établir grâce aux multiplicateurs de Lagrange l’équation du mouvement régissant le déplacement de ce même vélo le long d’une pente.

Modélisation du problème

Schématisation

Description

Un vélo de centre de gravité G (en $[\xi , \nu, 0])$ avance le long d’une pente formant un angle $\alpha$ avec l’horizontale dans les mêmes conditions que celles énoncées dans l’article précédent.

Résolution

Equation de liaison

$\dot{\theta _{1}}=\dot{\theta _{2}}=\frac{-\dot{\xi }}{a}=\dot{\theta_{p}}.t=\frac{\pi .N.t}{30}$

Calcul des multiplicateurs de Lagrange : Qi

Comme tous les paramètres dépendent de $\theta_{p}$ , on exprimera tous les multiplicateurs en fonctions de cette même variable pour simplifier les dérivations à venir.

Pesanteur :
- Pour le cadre : $\vec{O_{o}G^{\prime}} = \vec{OG}+\vec{GG^{\prime}}=\xi.\vec{xo}+\mu.\vec{yo}+b.\vec{x}+c.\vec{y}$ et comme ( $\vec{x}//\vec{xo}$ ), $\vec{O_{o}G^{\prime}}=\left (\xi+b \right )\vec{xo}+\left (\mu+c\right )\vec{yo}$ .
  Dans Rg, on a
  $\vec{xo}=cos(\alpha).\vec{X0}+sin(\alpha).\vec{Yo}$ et $\vec{yo}=-sin(\alpha).\vec{X0}+cos(\alpha).\vec{Yo}$ .
  Donc
  $\vec{O_{o}G^{\prime}}.\vec{Yo} = \left (\xi+b \right ).sin{(\alpha)}+\left (\mu+c\right ).cos{(\alpha)}$
  Finalement
  $V_{cadre} =M.g . \left [ \left (\xi+b \right ).sin{(\alpha)}+\left (\mu+c\right ).cos{(\alpha)} \right ]+C^{te}$
  et en fonction de $\theta_{p}$ :
  $V_{cadre} =M.g . \left [ \left (a.t.\theta_{p}+b+k \right ).sin{(\alpha)}+\left (\mu+c\right ).cos{(\alpha)} \right ]+C^{te}$
  
  Coefficient de Lagrange : $\left (Q_{cadre}\right )_\theta= -\frac{\partial V_{cadre} }{\partial \theta }=-M.g.a.t.sin{\alpha }$
- Pour la roue avant : $\vec{O_{o}O_{1}} = \vec{OG}+\vec{GO_{1}}=\xi.\vec{xo}+\mu.\vec{yo}+d.\vec{x}+e.\vec{y}$
  De la même façon : $\left (Q_{Rav}\right )_\theta= -\frac{\partial V_{Rav} }{\partial \theta }=-M_{1}.g.a.t.sin{\alpha }$
- Pour la roue arrière : $\left (Q_{Rar}\right )_\theta= -\frac{\partial V_{Rar} }{\partial \theta }=-M_{2}.g.a.t.sin{\alpha }$
- Pour le pédalier : $\left (Q_{Pedalier}\right )_\theta= -\frac{\partial V_{Pedalier} }{\partial \theta }=-\left (m_{P}+2m_{p}\right ) .g.a.t.sin{\alpha }$
- Pour le cycliste : $\left (Q_{Cycliste}\right )_\theta= -\frac{\partial V_{Cycliste} }{\partial \theta }=-M_{Cycliste}.g.a.t.sin{\alpha }$
Finalement, $\left (Q_{Pesanteur}\right )_\theta= -\frac{\partial V_{total} }{\partial \theta }=-\left (M+M_{1}+M_{2}+m_{P}+2m_{p}+M_{Cycliste}\right ) .g.a.t.sin{\alpha }$
Actionneurs :
Finalement : $\left (Q_{cycliste/pedalier}\right )_\theta= -\frac{\partial P_{(cycliste/pedalier)}^{*} }{\partial \theta^{*} }=C_{m}-\lambda_{1} \dot{\theta_{p}}$
Liaisons : Les roulements constituant les moyeux des roues n’étant pas parfaits, il conduisent à des pertes par frottement. Comme ci-dessus, elles sont directement proportionnelles à la vitesse de rotation des roues à un facteur $\lambda_{2}$ près. On a donc :
$\left (Q_{moyeu_{roues}}\right )_\theta= -\frac{\partial P_{(moyeu_{roues})}^{*} }{\partial \theta^{*} }=-2. \lambda_{2} \dot{\theta_{1}}=-2. \lambda_{2} \dot{\theta_{p}}.t$

Bilan
$\left (Q_{Systeme}\right )_\theta = \left (Q_{Pesanteur}\right )_\theta + \left (Q_{cycliste/pedalier}\right )_\theta + \left (Q_{moyeu_{roues}}\right )_\theta$
$\left (Q_{Systeme}\right )_\theta = -\left (M_{tot} \right ) .g.a.t.sin(\alpha) + C_{m}-\lambda_{1} \dot{\theta_{p}} - 2. \lambda_{2} \dot{\theta_{p}}t$

Détermination de l’équation générale du mouvement

$\left (Q_{Systeme}\right )_\theta = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left ( \frac{\partial T}{\partial \dot{\theta_{p}}} \right )-\frac{\partial T}{\partial \theta_{p}}$ avec $\frac{\partial T}{\partial \dot{\theta_{p}}} = K \dot{\theta_{p}}$ et $\frac{\partial T}{\partial \theta_{p}} = 0$
D’où $\left (Q_{Systeme}\right )_\theta = K\ddot{\theta_{p} } - 0$
Finalement $-\left (M_{tot} \right ) .g.a.sin(\alpha) + C_{m}-\lambda_{1} \dot{\theta_{p}} - 2. \lambda_{2} \dot{\theta_{p}}t = K\ddot{\theta_{p} }$

Conclusion
$C_{m} = K\ddot{\theta_{p} } + \left ( \lambda_{1}+2. \lambda_{2}t \right ) \dot{\theta_{p}} + \left (M_{tot} \right ) .g.a.t.sin(\alpha)$
Avec $K=a^{2}.t^{2} \left ( M+2. \left (M_{1}+M_{2} \right) + m_{P} + 2. m_{p}+M_{Cycliste} \right)+0,13^{2} \left (m_{P} + 2. m_{p} \right)$
$M_{tot} = \left (M+M_{1}+M_{2}+m_{P}+2m_{p}+M_{Cycliste} \right )$
$\alpha = Arctan (\frac{Denivele}{100})$
$t=\frac{Ndents_{plateau} }{Ndents_{pignon}}$

Le couple moteur que doit fournir le cycliste à vitesse constante en cote ( $\ddot{\theta_{p} }=0$ ) doit compenser l’effet de la pesanteur (qui sera d’autant plus important que la masse du cycliste+vélo sera élevée et la pente accentuée) ainsi que les différentes pertes dans la transmission et les roulements.

On constate également que l’inertie intervient quand à elle dès que le cycliste cherche à accélérer sa vitesse. Un vélo à faible inertie favorisera donc particulièrement les changements de rythme.

La vitesse maximale que l’on pourrait calculer à partir de cette équation serait toutefois gigantesque car l’équation ne prend absolument pas en compte l’action qu’exerce l’environnement sur le cycliste (résistance au roulement, facteurs aérodynamique,…).